8.SINIF MATEMATİK KONULARI

MATEMATİK KONULARI

Negatif Üslü Sayılar (Tam Sayıların Negatif Kuvvetleri)

     NEGATİF ÜS ALMA :

    Bu konumuzda ise bir tam sayının negatif kuvvetini bulmayı öğreneceğiz. Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımını üslü gösterim ile göstermeyi daha önceden öğrenmiştik. Örnek verecek olursak: 2.2.2 = 23 Tam sayıların kuvvetleri konusunu tekrar etmek için: Üslü Sayılar Konu Anlatımı Şimdi aşağıdaki görsele bakarak negatif üslü sayılara giriş yapalım. Aşağıda 8 sayısı art arda 2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.

üslü sayılar

    Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

Payı 1 olan rasyonel sayılar, bir tam sayının negatif tam sayılı kuvveti şeklinde gösterilebilir.

Sıfırdan farklı her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir. 20 = 1 gibi

üslü sayılar2

NEGATİF TAM SAYILARIN NEGATİF ÜSSÜNÜ BULMA

    Aşağıda –8 (yani (–2)3) sayısı art arda –2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.,

üslü sayılar3

Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

 Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir. (–2)3 = –8 (–2)2 = 4 gibi… Genel olarak üslü bir tam sayının işareti:

 Tam sayı pozitif ise bütün kuvvetleri pozitif olur.

Tam sayı negatif ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif olur.

 Bir üslü ifade paydadan paya veya paydan paydaya alındığında kuvvetin işareti değişir.
üslü sayılar4

Yukarıdaki örnekleri incelersek (–5)–2 paydaya alınınca (–5)2 olur. Benzer şekilde paydadaki 63 paya alınınca 6–3 olur.

ONDALIK KESİRLERİN VE RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİ

RASYONEL SAYILARIN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA

Rasyonel sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.

üslü sayılar5

RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİNİ BULMA

 Rasyonel sayıların kuvvetleri hesaplanırken taban üsteki sayı kadar çarpım şeklinde yazılır ve daha sonra çarpma işlemi yapılır.

üslü sayılar6

ONDALIK KESİRLERİN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA

Ondalık kesirlerin kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.

ÖRNEK: (0,2) . (0,2) . (0,2) çarpımını üslü olarak gösterelim.

3 tane 0,2 çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi (0,2)3 ‘tür.

ÖRNEK: (1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) ifadesini üslü olarak gösterelim.

1,5 sayısı 4 kere kendisi ile çarpıldığı için (1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) = (1,5)4 olarak yazılır.

ONDALIK KESİRLERİN KUVVETLERİNİ BULMA

Ondalık kesirlerin kuvvetleri hesaplanırken rasyonel sayıya çevrilerek bulunabilir.

ÖRNEK:

   (0,2)3 sayısının değerini bulalım. 2 farklı yolla bulabiliriz. 1. yol olarak ondalık gösterimlerle çarpma işlemini kullanabiliriz. Buna göre: 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008 cevabına ulaşırız. 2. yol olarak da bu sayıları rasyonel sayı olarak yazıp işlem yaparız.

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ

ÜSLÜ SAYININ ÜSSÜ

üslü sayılar7

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ NASIL YAPILIR?

Üslü ifadelerle çarpma işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz. # Tabanları aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken üsler toplamı, ortak tabana üs olarak yazılır.

üslü sayılar8

Üsleri aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken tabanlar çarpılır, ortak üsse taban olarak yazılır.

üslü sayılar9

ÜSLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ NASIL YAPILIR?

Üslü ifadelerle bölme işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.

Tabanları aynı olan üslü sayılarla bölme işlemi yapılırken bölünen sayının üssünden bölen sayının üssü çıkartılır, ortak tabana üs olarak yazılır.

üslü sayılar10

üslü sayılar11

TABANLARI VE ÜSLERİ FARKLI ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ                                                                                                                                                   

 Hem tabanları, hem de üsleri farklı üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemi yapmak için tabanlar veya üsler eşitlenir. Bunu birkaç örnekle açıklayalım.

üslü sayılar12

10’UN KUVVETLERİ

üslü sayılar13

    Bu işlemin sonucu 6 basamaklıdır. n negatif tam sayı ise virgülden sonra n tane basamak olur ve a sayısı sağa yaslı olarak yazılır. Boş kalan basamaklara koyulur.

ÖRNEK: 5.10−4 = 0,0005 (Virgülden sonra 4 basamak yazdık)

“İşleminin sonucu kaç basamaklıdır?” veya “Sayısının sonunda kaç tane sıfır (0) vardır?” gibi soruları çözmek için genelde 10’un kuvvetlerine başvururuz. 10’un kuvvetine ulaşmak için ise 5 ve 2’nin aynı kuvvetini bulur ve çarparız.

üslü sayılar14

    Sonuç olarak bu işlemin sonucunda 1’in yanında 14 tane sıfır vardır ve sonuç 15 basamaklıdır.

üslü sayılar15

İşlemin sonucunda 25’in yanında 24 tane 0 vardır ve sonuç 26 basamaklı bir sayıdır.

BİLİMSEL GÖSTERİM NEDİR?

     Bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları göstermek için kullanılan bir standarttır. Bilim adamlarının ilgilendikleri pek çok nicelik ya çok büyük ya da çok küçük değerlerdir. Böyle sayıları okumak, onlarla işlem yapmak çok zordur. Bilimsel gösterim sayesinde 10 sayısının kuvvetlerini kullanarak böyle zorluklardan kurtuluruz. Bilimsel gösterim, hayatımızdaki çok büyük ve çok küçük sayılarla işlem yapmamızı kolaylaştırır.

   Bir sayının bilimsel gösterimle gösterilebilmesi için şu şekilde yazılması gerekir.

   a, 1 ile 10 arasında (1 dahil) bir sayı, n bir tam sayı olmak üzere bir sayının a.10n biçiminde gösterimine o sayının bilimsel gösterimi denir.

 Bilimsel gösterim 1 ≤ a <10 ve n bir tam sayı olmak üzere a.10n şeklindedir.

bilimsel gösterim

ÇOK BÜYÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

    Çok büyük sayılarda 10’un kuvveti pozitif bir tam sayıdır. Çok büyük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

    Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK:

21 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim. Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 2’nin sağına gelmelidir.

    Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 2’nin sağına gelmelidir.

üslü sayılar16

ÖRNEK: 314 000 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim. Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 3’ün sağına gelmelidir.

üslü sayılar17

ÇOK KÜÇÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

    Çok küçük sayılarda 10’un kuvveti negatif bir tam sayıdır. Çok küçük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

    Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK: 0,0000000007 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 7’nin sağına gelmelidir.

üslü sayılar18

ÖRNEK: 0,0000000000001234 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 1’nin sağına gelmelidir.

üslü sayılar19

üslü sayılar23

KAREKÖKLÜ SAYILAR 

KAREKÖK NEDİR?

Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma işlemi denir.

Karekök “√” sembolü ile gösterilir.  x√x sayısı “karekök x” şeklinde okunur.

Negatif bir sayının karekökü alınamaz çünkü negatif bir sayı hiç bir sayının karesi olamaz. Şimdi karekökü daha iyi kavramak için bir örnek verelim.

kareköklü sayılar1

TAM KARE SAYILAR VE KAREKÖKLERİ

Bir tam sayının karesi olan, diğer bir ifade ile karekökü tam sayı olan doğal sayılara tam kare sayılar denir. Tam kare sayılara karesel sayılar da denir. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 192, 256, 289, … sayıları tam kare sayılardır.

KAREKÖKLÜ SAYILAR2

Kenar uzunluğu verilen bir karenin alanını bulmak için kenar uzunluğunun karesi alındığı gibi, alanı verilen bir karenin bir kenarının uzunluğunu bulmak için alanının karekökünü alırız.

KAREKÖKLÜ SAYILAR3

KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADEYİ KÖK DIŞINA ÇIKARMAK

Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabilen bir sayı ise bu sayı karekök dışına çıkarılabilir. Karekök içindeki üslü sayı var ise; üssün yarısını alarak karekök dışına çıkarabilirsiniz. Örnekleri dikkatlice inceleyiniz.

Örnekler : KAREKÖK ÇIKARMAK

  Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1’den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz. Aşağıda 400’e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım. Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.

KAREKÖK ÇIKARMAk2

KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI

Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız

karekök içine almak1

Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.

RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ

Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.

Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.

karekök rasyonel1

KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMA

Kareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.

» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.

» Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.

karekkök a b şeklindey yazma 1

KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;

Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.

Kareköklü Sayılarda Sıralama Örnekler :

kakreköklü sayılarda sıralama1

kakreköklü sayılarda sıralama2

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi için daha fazla örnek soru çözmeye ihtiyaç yok bence, çünkü yapmanız gereken şey çok kolay. Verilen bütün sayıları karekök içine aldıktan sonra doğal sayılarda sıralama yapıyormuş gibi sıralama yapmalısınız.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ 

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır

Örnekler : 

kareköklü sayılarda toplama çkarma1

Dikkat: Katsayısında herhangi bir sayı bulunmayan kareköklü sayıların kat sayısını 1 olarak almayı unutmayınız.

Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

kareköklü sayılarda toplama çkarma2

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi görüldüğü gibi çok kolay bir işlemdir. Önemli olan karekök içindeki sayıları aynı olmasıdır. Böylece kat sayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparak sonucu rahatlıkla bulabilirsiniz.

Kareköklü sayılarda dört işlemi doğru ve hızlı bir şekilde yapabilmenin yolu verilen sayıları doğru bir şekilde karekök dışına çıkarmak ile mümkündür. 1 den 20 ye kadar ki sayıların karesini ezbere bilirseniz, verilen kareköklü sayıları da rahatlıkla karekök dışına çıkarabilirsiniz.

Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular bölümünden daha fazla örnek soru çözümüne ulaşabilir veya online Karekök Testlerimize katılarak kendinizi değerlendirebilirsiniz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.

Kareköklü Sayılarda ÇArpma İşlemi Örnek ler : 

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ 1

Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma
Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.

Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi Örnekler  : 

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ1

  Örneklerde de görüldüğü üzere tek yapmamız gereken katsayıları birbirine bölüp katsayı olarak yazmak, karekök içindeki sayıları birbirine bölüp kök içinde katsayının yanına yazmaktır. Kareköklü bir sayıyı doğal sayıya kesinlikle bölmeyiniz. Sadece kareköklü sayıları birbirine bölebilirsiniz.

ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜ

Ondalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.
1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.

Örnek :

ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜ1

2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.

Örnek :

ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜ2

GERÇEK SAYILAR 

GERÇEK SAYILAR (REEL SAYILAR) TANIM:

Rasyonel Sayılar ve İrrasyonel Sayılar kümesinin birleşim kümesine Gerçek Sayılar denir. Gerçek sayılara Reel Sayılar veya Gerçel Sayılar da denilir. Gerçek sayılar kümesi “R” harfi ile gösterilir. # Sayı doğrusundaki tüm noktalara karşılık gelen gerçek sayı vardır. Bu sayı rasyonel de olabilir irrasyonel de olabilir. Diğer bir ifadeyle gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu doldurur. # Doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin, tam sayılar kümesi ise rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.

N ⊂ Z ⊂ Q # Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir. Yani ortak elemanları yoktur. Bu iki kümenin birleşiminden Gerçek Sayılar kümesi oluşur. R = Q ∪ I

RASYONEL SAYI NEDİR? TANIM:

  İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi “Q” harfi ile gösterilir. (Rasyonel sayılar İtalyanca “quotient” kelimesinin baş harfi olarak Q işareti ile gösterilir.) # Rasyonel sayılar abab şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur. Burada b sayısı sıfırdan farklıdır. Yani Doğal Sayılar (N), Tamsayılar (Z), kesirler, ondalık sayılar, devirli ondalık sayılar ve karekök alma işleminde karekökten kurtulabilen sayılar rasyonel sayılardır. #Tüm doğal sayılar ve tam sayılar, paydalarına 1 yazılıp iki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayılardır.

ÖRNEK:

RASYONEL SAYILAR

Tüm kesirler rasyonel sayılardır.

örnek :

RASYONEL SAYILAR 2

Ondalıklı sayılar ve devirli ondalıklı sayılar kesir olarak yazılabildiği için rasyonel sayılardır.

RASYONEL SAYILAR 3

Rasyonel SAyılara Örnekler : RASYONEL SAYILAR 4

İRRASYONEL SAYI NEDİR?

TANIM: İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi “I” harfi ile gösterilir. Köklü sayılar, virgülden sonra devirsiz olarak sonsuza kadar devam eden sayılar (π sayısı, e sayısı gibi) irrasyonel sayılara örnektir.

irrasyonel sayılar1

ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

Aritmetik Dizi

Geometrik Dizi,

Özel Sayı Örüntüleri

SAYI ÖRÜNTÜLERİ 

Örüntü Nedir?

Belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya genişleyen şekil ya da sayı dizisine örüntü denir. Örüntüler eş yada benzer çokgenler kullanılarak oluşturulur. Örneğin, kağıttan birbirine eş bir sürü üçgen şeklini kestiniz.
Bunlarla bulmaca gibi balık, kuş,ev,halı,kare,dikdörtgen gibi farklı desenlerde yeni şekiller meydana getirebilirsiniz.İşte bu oluşturduğunuz yeni şekillere örüntü adı verilir.

SAYI DİZİSİ NEDİR?

Sayıların virgülle ayrılarak birbiri ardına dizilmesine sayı dizisi denir. Dizideki her bir sayıya dizinin terimi denir.

ÖRNEK  –1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … dizisi tek sayılardan oluşan ve 1’den başlayarak ikişer ikişer artan bir sayı dizisidir.

ÖRNEK –2: 1, 3, 9, 27, 81, 243, … dizisi 1’den başlayıp üçer üçer katlanarak devam eden bir sayı dizisidir.

ARİTMETİK SAYI DİZİSİ NEDİR?

 Bir sayı dizisindeki ardışık iki terim arasındaki fark sabit bir sayı ise bu diziye aritmetik dizi denir. Örneğin yukarıda verdiğimiz Örnek-1’deki tek sayılar dizisi aritmetik bir dizidir çünkü ardışık terimler arasındaki fark sabittir.

Aritmetik Dizi Örnekleri Aşağdaki gibidir.

ÖRÜNTÜLER 1

ARİTMETİK DİZİNİN GENEL TERİMİ NASIL BULUNUR? 

Aritmetik dizinin genel terimi şu mantıkla bulunabilir. Örneğin 1’den başlayan ve ortak farkı 4 olan (yani dörder dörder artan) bir dizi oluşturalım.

Bu dizinin terimleri şu şekilde olur:

1. terim:   1

2. terim:   5 = 1 + 4

3. terim:   9 = 1 + 4 + 4

4. terim: 13 = 1 + 4 + 4 + 4

görüldüğü gibi her bir terimi oluştururken aslında ilk terimden yola çıkıyoruz ve dizinin ortak farkını ekleyerek devam ediyoruz. Dizinin ortak farkını terim sayısının bir eksiği kadar ekliyoruz. Bu mantıkla mesela 10. terimi bulalım.

10. terim: 1 + 9 tane 4 = 1 + 9 . 4  = 1 + 36 = 37

ARİTMETİK DİZİ GENEL TERİM FORMÜLÜ:

İlk terimi a1 olan ve ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n−1) . r

GEOMETRİK SAYI DİZİSİ NEDİR?

Bir sayı dizisindeki ardışık iki terim arasındaki oran sabit bir sayı ise bu diziye geometrik dizi denir. Örneğin yukarıda verdiğimiz Örnek-2’deki dizi geometrik bir dizidir çünkü ardışık terimler arasındaki oran sabittir. # Geometrik dizide ardışık iki terim arasındaki orana dizinin ortak çarpanı denir.

Örnek-2’deki dizinin ortak çarpanı 3’tür. Ortak çarpan bulunurken herhangi bir terim bir önceki terime bölünür.

Geometrik Dizi Örnekleri aşağıdai gibidir

ÖRÜNTÜLER2

GEOMETRİK DİZİNİN GENEL TERİMİ NASIL BULUNUR? 

Geometrik dizinin genel terimi şu mantıkla bulunabilir.

Örneğin 1’den başlayan ve ortak çarpanı 2 olan (yani ikiye katlanarak devam eden) bir dizi oluşturalım.

Bu dizinin terimleri şu şekilde olur:

1. terim:   1

2. terim:   2 = 1 x 2 3

. terim:   4 = 1 x 2 x 2

4. terim:   8 = 1 x 2 x 2 x 2 görüldüğü gibi her bir terimi oluştururken aslında ilk terimden yola çıkıyoruz ve dizinin ortak çarpanıyla çarparak devam ediyoruz. Dizinin ortak çarpanını terim sayısının bir eksiği kadar çarpıyoruz.

Bu mantıkla mesela 10. terimi bulalım.

örüntüler 3

GEOMETRİK DİZİ GENEL TERİM FORMÜLÜ: 

örüntüler 4

ÖZEL SAYI ÖRÜNTÜLERİ

ÖZEL SAYI ÖRÜNTÜLERİ ÜÇGENSEL SAYILAR

 1’den n’ye kadar olan n doğal sayının toplamı şeklinde yazılabilen sayılara üçgensel sayılar denir.

Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise üçgensel sayı dizisi denir. Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 üçgensel sayıdır. 3 üçgensel sayıdır çünkü

3 = 1+2 6 üçgensel sayıdır çünkü 6 = 1+2+3  bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz. # Üçgensel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …

ÖRÜNTÜLER5

KARESEL SAYILAR

Bir tam sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılara tam kare sayılar veya karesel sayılar denir.

Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise karesel sayı dizisi denir.

Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 karesel sayıdır çünkü

1 = 12 4 karesel sayıdır çünkü 4 = 22 9 karesel sayıdır çünkü 9 = 32  bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz. # Karesel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

Karesel SAyılara Örnekler : 

ÖRÜNTÜLER6

FİBONACCİ SAYI DİZİSİ

Fibonacci sayıları İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin ortaya koyduğu bir sayı dizisidir. Fibonacci sayı dizisi ilk iki terim hariç her terimin kendisinden önceki iki terimin toplanmasıyla oluşturulan bir dizidir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … şeklinde devam eder.

Fibonacci Sayı Dizisine Örnekler : 

ÖRÜNTÜLER 7

Fibonacci bu sayı dizisini bir probleme çözüm ararken bulmuştur ve bu dizinin bir çok özelliği vardır.

CEBİRSEL İFADELER

ÖZDEŞLİKLER

ÇARPANLARA AYIRMA

RASYONEL İFADELER 

ÖZDEŞLİK NEDİR?

 İçindeki değişkenlere verilen bütün gerçek sayılar için doğru olan denklemlere özdeşlik denir.

ÖZDEŞLİK Mİ DENKLEM Mİ?

Özdeşlik mi denklem mi demek aslında kafaları karıştıran bir ifade çünkü özdeşlikler de aynı zamanda denklemdir. “Özdeşlik mi? Özdeşlik değil mi?” sorusu daha uygun bir soru olabilir. Özdeşlik ile denklem arasındaki fark; özdeşlikte değişkene verilen her gerçek sayı değerinde eşitlik sağlanır, denklemde ise bazı gerçek sayı değerlerinde eşitlik sağlanır.(Buradaki denklemden kasıt özdeşlik olmayan denklemdir.)

ÖRNEK: 

2.(x−2)=2x−42.x-2=2x-4 ve 2.(x−2)=42.x-2=4 eşitliklerinde x yerine farklı değerler vererek eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

ÖRNEKLER:

ÖZDEŞLİK1

ÖZDEŞLİK2

 Görüldüğü gibi soldaki eşitlik x yerine yazdığımız üç değer için de sağlandı. Sağdaki eşitlik ise x yerine sadece 4 yazdığımızda sağlandı. Bu yüzden:

2.(x−2)=2x−42.x-2=2x-4 bir özdeşliktir.

2.(x−2)=42.x-2=4 özdeşlik değildir.

Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamak için farklı değerler verip eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Eğer verilen tüm değerler için sağlamıyorsa özdeşlik değildir. # Bir eşitliğin özdeşlik mi denklem mi olduğunun ikinci yolu ise denklemi çözmektir. Eğer denklemi çözdükten sonra 0=0 çıkıyorsa bu denklem bir özdeşliktir.

ÖRNEK: 3x−5 = x + 33x-5 = x + 3 ve 2.(x+1)=2+2×2.x+1=2+2x eşitliklerinden özdeşlik olanlarını belirleyelim.

RASYONEL SAYILAR 3

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİ

İki terimin toplamının karesi, bu iki terimin kareleri ve bu iki terimin çarpımının iki katının toplamına eşittir.

ÖZDEŞLİK4

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 102’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

ÖZDEŞLİK5

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİNİ MODELLEME

Birinci şekildeki karenin alanı, parçaların alanları toplamına eşittir.

ÖZDEŞLİK6

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN FARKININ KARESİ

İki terimin farkının karesi, bu iki terimin kareleri toplamından bu iki terimin çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir. (a−b)2=a2−2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 97’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

ÖZDEŞLİK7

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN FARKININ KARESİNİ MODELLEME

Birinci şekildeki yeşil karenin alanı, büyük karenin alanından beyaz bölgelerin alanlarının çıkarılmasına eşittir.

ÖZDEŞLİK8

İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ

İki terimin karelerinin farkı, bu iki terimin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.özdeşlik9

iki kare farkı özdeşlik ÖRNEK:

Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 75’in karesi ile 25’in karesinin farkını bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.
özdeşlik10

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN FARKININ KARESİNİ MODELLEME

Birinci şekildeki büyük kareyle küçük karenin alanları farkı (sarı bölge), ikinci şekildeki sarı bölgeye eşittir.

özdeşlik11

ÖZDEŞLİK12

CEBİRSEL İFADELERİ ÇARPANLARA AYIRMA

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya, o cebirsel ifadeyi çarpanlara ayırma denir. Cebirsel ifadeler çarpanlara ayrılırken farklı yöntemlerden faydalanılır.

1) ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Bir cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırmak istiyorsak cebirsel ifadedeki her terimde ortak olarak bulunan bir çarpan bulmalıyız. Bu ortak çarpan parantezin dışına yazılır ve parantezin içine de verilen ifadedeki terimlerin ortak çarpana bölümleri yazılır.

ÖRNEK: 

3x+9 3x+9 ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bu ifade iki terimli bir ifadedir ve bu iki terimde de 3 çarpanı vardır. Ortak çarpan parantezine şu şekilde alırız:

3x+9=3.x+3.3=3.(x+3)

cebir1

2) GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA

Ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlara ayırma işlemi yapılamayan durumlarda gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi kullanılabilir. Bu yöntemde terimler kendi aralarında ortak çarpan bulunacak şekilde iki veya daha fazla terimden oluşan gruplara ayrılır. Daha sonra ortak çarpan parantezine alınır. Gruplandırarak çarpanlara ayırma üçten fazla terimi olan cebirsel ifadelerde kullanılır.

Örnek

cebir2

Cebirsel ifadeye baktığımızda 4 terimin hepsinin ortak bir çarpanı bulunmamaktadır. Bu ifadeyi gruplandırarak çarpanlara ayrılır. İlk iki terim b parantezine son iki terim c parantezine alınır. Sonra ortak çarpan parantezine alırız.

cebir3

ÖRNEK: 

4ay−3by+8ac−6bc4ay-3by+8ac-6bc ifadesini çarpanlara ayıralım.

Cebirsel ifadeye baktığımızda 4 terimin hepsinin ortak bir çarpanı bulunmamaktadır. Bu ifadeyi gruplandırarak çarpanlara ayrılır. İlk iki terim y parantezine son iki terim 2c parantezine alınır. Sonra ortak çarpan parantezine alırız.

3)ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA

A) İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ İLE ÇARPANLARA AYIRMA

Bazı ifadeler Özdeşlik konusunda öğrendiğimiz iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlara ayrılabilir. Cebirsel ifadedeki iki terim de eğer tam kare ise bu iki terimin kareköklerinin toplamı ile farkı çarpılır.

cebir4

cebir5

B) TAM KARE ÖZDEŞLİKLERİ İLE ÇARPANLARA AYIRMA

Bazı ifadeler Özdeşlik konusunda öğrendiğimiz tam kare özdeşlikleri kullanarak çarpanlara ayrılabilir. Cebirsel ifadedeki birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının iki katı ortanca terimi veriyorsa bu cebirsel ifade bir tam karedir. Çarpanları ise birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün toplamının karesidir (veya farkının karesidir).

cebir6

cebir9

Birinci ve üçüncü terimin altına çarpanlarını yazarken uygun çarpanlar seçmeli ve çarpaz çarpılıp toplanınca ortadaki terimi vermesi gerektiğini unutmamalıyız. Buna göre bu ifade şu şekilde çarpanlarına ayrılırdı.

cebir8

cebir10

Bir cevap yazın